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    2022年新疆成人高考文科數學(xué)考點(diǎn):數列綜合應用

    文章來(lái)源: 新疆成考網(wǎng) 發(fā)布時(shí)間: 2021-10-21 15:28作者: admin瀏覽量: 59
    縱觀(guān)近幾年的成人高考,在解答題中,有關(guān)數列的試題出現的頻率較高,不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯(lián)系,而且還與三角、立體幾何密切相關(guān);數列作為特殊的函數,在實(shí)際問(wèn)題中有著(zhù)廣泛的應用,如增長(cháng)率,減薄率,銀行信貸,濃度匹配,養老保險。

      縱觀(guān)近幾年的成人高考,在解答題中,有關(guān)數列的試題出現的頻率較高,不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯(lián)系,而且還與三角、立體幾何密切相關(guān);數列作為特殊的函數,在實(shí)際問(wèn)題中有著(zhù)廣泛的應用,如增長(cháng)率,減薄率,銀行信貸,濃度匹配,養老保險,圓鋼堆壘等問(wèn)題.這就要求同學(xué)們除熟練運用有關(guān)概念式外,還要善于觀(guān)察題設的特征,聯(lián)想有關(guān)數學(xué)知識和方法,迅速確定解題的方向,以提高解數列題的速度.

      ●難點(diǎn)磁場(chǎng)

      (★★★★★)已知二次函數y=f(x)在x= 處取得最小值- (t>0),f(1)=0.

      (1)求y=f(x)的表達式;

      (2)若任意實(shí)數x都滿(mǎn)足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]為多項式,n∈N*),試用t表示an和bn;

      (3)設圓Cn的方程為(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項都是正數的等比數列,記Sn為前n個(gè)圓的面積之和,求rn、Sn.

      ●案例探究

      [例1]從社會(huì )效益和經(jīng)濟效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設,并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),根據規劃,本年度投入800萬(wàn)元,以后每年投入將比上年減少 ,本年度當地旅游業(yè)收入估計為400萬(wàn)元,由于該項建設對旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預計今后的旅游業(yè)收入每年會(huì )比上年增加 .

      (1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元,旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元,寫(xiě)出an,bn的表達式;

      (2)至少經(jīng)過(guò)幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?

      命題意圖:本題主要考查建立函數關(guān)系式、數列求和、不等式等基礎知識;考查綜合運用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力,本題有很強的區分度,屬于應用題型,正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型,屬★★★★★級題目.

      知識依托:本題以函數思想為指導,以數列知識為工具,涉及函數建模、數列求和、不等式的解法等知識點(diǎn).

      錯解分析:(1)問(wèn)an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數列的前n項和,易與“通項”混淆;(2)問(wèn)是既解一元二次不等式又解指數不等式,易出現偏差.

      技巧與方法:正確審題、深刻挖掘數量關(guān)系,建立數量模型是本題的靈魂,(2)問(wèn)中指數不等式采用了換元法,是解不等式常用的技巧.

      解:(1)第1年投入為800萬(wàn)元,第2年投入為800×(1- )萬(wàn)元,…第n年投入為800×(1- )n-1萬(wàn)元,所以,n年內的總投入為

      an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1

      =4000×[1-( )n]

      第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元,第2年旅游業(yè)收入為400×(1+ ),…,第n年旅游業(yè)收入400×(1+ )n-1萬(wàn)元.所以,n年內的旅游業(yè)總收入為

      bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.

      =1600×[( )n-1]

      (2)設至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入,由此bn-an>0,即:

      1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得x< ,或x>1(舍去).即( )n< ,由此得n&ge;5.

      &there4;至少經(jīng)過(guò)5年,旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.

      [例2]已知Sn=1+ +&hellip;+ ,(n&isin;N*)設f(n)=S2n+1-Sn+1,試確定實(shí)數m的取值范圍,使得對于一切大于1的自然數n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立.

      命題意圖:本題主要考查應用函數思想解決不等式、數列等問(wèn)題,需較強的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.屬★★★★★級題目.

      知識依托:本題把函數、不等式恒成立等問(wèn)題組合在一起,構思巧妙.

      錯解分析:本題學(xué)生很容易求f(n)的和,但由于無(wú)法求和,故對不等式難以處理.

      技巧與方法:解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n&isin;N*)看作是n的函數,此時(shí)不等式的恒成立就轉化為:函數f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2.

      解:∵Sn=1+ +&hellip;+ .(n&isin;N*)

      &there4;f(n+1)>f(n)

      &there4;f(n)是關(guān)于n的增函數

      &there4;f(n) min=f(2)= &there4;要使一切大于1的自然數n,不等式

      f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立

      只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2成立即可

      由 得m>1且m&ne;2

      此時(shí)設[logm(m-1)]2=t 則t>0

      于是 解得0

      由此得0<[logm(m-1)]2<1

      解得m> 且m&ne;2.

      ●錦囊妙計

      1.解答數列綜合題和應用性問(wèn)題既要有堅實(shí)的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力;解答應用性問(wèn)題,應充分運用觀(guān)察、歸納、猜想的手段,建立出有關(guān)等差(比)數列、遞推數列模型,再綜合其他相關(guān)知識來(lái)解決問(wèn)題.

      2.縱觀(guān)近幾年高考應用題看,解決一個(gè)應用題,重點(diǎn)過(guò)三關(guān):

      (1)事理關(guān):需要讀懂題意,明確問(wèn)題的實(shí)際背景,即需要一定的閱讀能力.

      (2)文理關(guān):需將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉化數學(xué)的符號語(yǔ)言,用數學(xué)式子表達數學(xué)關(guān)系.

      (3)事理關(guān):在構建數學(xué)模型的過(guò)程中;要求考生對數學(xué)知識的檢索能力,認定或構建相應的數學(xué)模型,完成用實(shí)際問(wèn)題向數學(xué)問(wèn)題的轉化.構建出數學(xué)模型后,要正確得到問(wèn)題的解,還需要比較扎實(shí)的基礎知識和較強的數理能力.

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